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수학/행렬식

1. 서론

행렬식에 대해서 머릿속에 다시끔 정리해볼겸 + 블로그에 위키로 작성된 글 배치를 그대로 가져갈겸 작성.

2. 본론

글의 순서 : 행렬식이란? -> 행렬식의 대수적인 의미 -> 행렬식의 기하적인 의미.

2.1. 행렬식(determinant)이란?

행렬식은 단 하나의 숫자를 통해 연립방정식들간에 근이 있는지 혹은 없는지를 나타내는 식.

2.1.1. 행렬식이 나오게된 계기

행렬식에 대해서 언급하기 전에 우리는 행렬(matrix)에 대해서 먼저 언급해야할 필요성이 있다.

행렬이란? n과 m을 임의의 자연수라 할때, n행 m열을 가지고 각 행과 열이 만나는 지점에 숫자가 표기되어 있는 형태를 말한다.

위에서 언급한 행렬의 정의는 단지 피상적인 측면에서 행렬을 정의한것일 뿐이고, 행렬은 다음과같은 의미도 지닌다.

1. 행렬은 연립방정식을 대수적으로 표현한 측면에서 의미를 지닌다.

2. 행렬은 벡터의 집합으로서 표현된다는점에서도 의미를 지닌다.

여기서 우리는 1번의 의미에서 행렬을 좀더 살펴볼 예정이다.

우선 아래와 같은 연립방정식들이 있다고 하자.
 
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = L

위와같은 연립방정식들은 다음과 같이 붙임행렬(arguments matrix)로 표현할 수 있다.
a b c | d
e f g | h
i j k | L

이렇게 연립방정식을 행렬로 표시할 수 있다면, 행렬은 연립방정식에서 할 수 있는 연산을 할 수 있어야 한다.

1. 덧셈
2. 뺄셈
3. 곱셈
4. 나눗셈

이 사칙연산중에서 1,2,3은 딱히 문제가 없지만 4번 나눗셈은 문제가 된다. 행렬에서는 기본적으로 나눗셈을 하지 못한다. 그래서 이런 나눗셈과 유사한 연산을 하기 위해 역행렬의 개념과 행렬식이 나오게 되었다.

역행렬은 곱셈을 나눗셈처럼 활용하기 위해, 행렬을 단위행렬(identity matrix)로 만드는 행렬이다.
A,B는 행렬이고, A는 역행렬을 갖는다고 하자.

AX = B
행렬 A를 나누고 싶다.

(A^-1)AX = (A^-1)B
역행렬을 통해 곱셈을 나눗셈처럼 활용한다.

(A^-1)A = I

IX = X = (A^-1)B
결과 행렬.

나눗셈을 하는 방법은 위와같은 방법으로 해결했지만, 우리가 이전체제에서의 나눗셈을 생각해볼때 빠져서는 안되는 성질이 있는데, 바로 나눗셈은 0으로 나누어서는 안된다는 성질이다.

이런 성질또한 행렬의 나눗셈에 반영되어지는데, 이는 역행렬이 없다라는 것으로 나타내어 진다.
그리고 역행렬이 있는지 없는지를 알기위해 행렬식을 써서 이를 판단한다.

2.1.2. 행렬식의 표기

A를 행렬이라고 할때,

A의 행렬식 = |A| = det(A)

2.2. 행렬식의 대수적인 의미


a b
c d
위와 같은 행렬이 있을 때, 행렬식은 ad - cb로 표현되어지고, 행렬식의 값이 0이면 역행렬이 없다. 반대로 0이 아니면 역행렬이 존재한다. 이는 2 by 2 행렬에서의 행렬식이고 좀더 차수를 높혀보자.

a b c
d e f
g h i
위와같은 행렬이 있을 때, 행렬식은 (ei - fh)a - (di - fg)b + (dh - eg)c로 표현되어지고, 마찬가지로 0인지 아닌지에 따라 역행렬을 판단한다.

위를 일반화된 공식으로서 표현하면,
A는 n by n행렬, C_ij를 A행렬의 i행 j열에서의 Cofactor이고, M_ij를 i행 j열을 제외한 행렬식이라 할때,

C_ij = (-1^(i + j)) * M_ij

det(A) = 시그마(i = 0 ~ n, j = 임의의 일정한 수)a_ij * C_ij

로 표현할 수 있다.


TODO :: 외적, 내적과 엮어서 대수적으로 변형하여 설명.


2.3. 행렬식의 기하적인 의미


그렇다면 이렇게 단 하나의 숫자로 역행렬을 판단하는 행렬식이 어떻게 나오는지 궁금하게 여길수 있다. 이는 행렬식을 연립방정식과 엮어서 기하적으로보면 직관적으로 행렬식에 대해서 파악할 수 있게된다.

determinant 유도>>
ax + by = c
dx + ey = f
라는 연립방정식이 있을때, x와 y값을 구하기위해 두 방정식을 임의의 실수 m, n을 곱해서 빼주자.

(ma - nd)x + (mb - ne)y = mc - nf

위의 식에서 ma - nd = mb - ne = 0 이면, 두 방정식은 기울기가 같으므로 좌표계상에서 평행하게 나타난다는 것을 알 수 있다.

정리하면, m/n = d/a = e/b 이고, 이를 다시 정리하면,
ae - bd = 0라는 행렬식을 유도 할 수 있다.

고로 행렬식은 좌표상에 두 직선(3차원이 됫든 2차원이 됫든)이 평행한지 아닌지를 알려주어서
단일한 x, y값이 존재하는지를 알려준다고 할 수 있다.

다시말해, 행렬식의 값이 0이라는 것은 두 직선의 근이 무한하거나 혹은 아예 없거나 둘중하나여서 x, y값을 유일하게 결정할 수 없다는 것을 의미하고, 이는 역행렬로 단일하게 값을 결정할 수 없어서 역행렬이 존재하지 않는다라고 표현한다.

TODO : 외적과 내적을 통해 대수적으로 보았던 행렬식을 기하적으로 해석한 형태


3. 요약

주장 :
행렬식의 정체는 연립방정식의 근이 유일한지 아닌지를 판단하는 식으로서,

행렬식을 통해 역행렬의 존재를 판단하는 것은 연립방정식의 근이 유일한지 아닌지를 판단하는 것과 일맥상통하다.

근거 :
역행렬은 곱셈을 나눗셈으로 표현하는 것이므로 나눗셈의 성질을 표현할 수 있어야하는데, 0으로 나누기로 할 수 없음을 나타내는것은

2/0 = x
2 = x*0 (근이 없다.)

0/0 = x
0 = x*0 (근이 무수히 많다)
이 둘을 표현하는 형태로 나타내어진다. 그리고 이는 연립방정식에서 이는 평행이라는 개념과 동일하다.

고로 행렬식은 "역행렬을 할 수 있는가 없는가 = 근이 유일하게 존재하는가 아닌가 = 연립방정식의 해가 유일한가 = 평행하지 않는가"로 나타나며, 연립방정식들간에 평행한지 아닌지에 대한 조건을 통해 행렬식이 유도되어진다.





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last modified 2021-02-07 05:30:14
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