금고 ¶
바로 코드 짜면 저번처럼 망해버릴 것만 같아서, 점화식 만들고, 간단히 증명까지 하고 코드를 짰다. 층수 n, 금고수 k 라 할때, 현재 복잡도 O(nk). 구간 값을 저장한다면 메모리와 시간 모두 더 줄일수 있을 것이다.
풀이 ¶
T(n, k) 를 층수 n 과 금고 수 k 일때의 해라 하자. 여기서 n 을 k 개의 금고를 가지고, T(n, k) 횟수 만에 모두 테스트 할 수 있는 건물의 최대높이라 하자.
층수가 n 인 건물중 해를 찾는 위치에 첫 금고를 떨어뜨린다고 하자. 그러면 건물은 그 위치 아래와 위로 나뉘어지며, 위쪽은 T(b, k) 가 되고, 아래쪽은 T(a, k-1)이 된다. 여기서 a, b는 첫 금고를 떨어뜨린 위치를 기준으로 나뉘어진 위 아래 건물의 층수다. 여기서 문제의 정의에 따라 우리가 구하고자 하는 해는
{{| max{ T(b, k), T(a, k-1) } + 1 |}} 이다.
그런데 여기서 T(b,k) > T(a, k-1) 이거나 T(b,k) < T(a,k-1) 이라면 n = a + b + 1 인 건물의 층수가 우리가 처음에 가정한 n이 T(n,k) 횟수만에 테스트 할 수 있는 건물의 최대 높이라는 가정과 모순된다. 따라서 T(b,k) = T(a,k-1) 이다. 따라서
{{| T(a+b+1, k) = T(b,k) + 1 = T(a,k-1) + 1 |}} 이다. 여기서 a 와 b 또한 건물의 최대 높이임을 만족해야 한다. 초기값 T(1, k) = 1, T(n, 1) = n 을 이용하여 값을 구할 수 있다.
층수가 n 인 건물중 해를 찾는 위치에 첫 금고를 떨어뜨린다고 하자. 그러면 건물은 그 위치 아래와 위로 나뉘어지며, 위쪽은 T(b, k) 가 되고, 아래쪽은 T(a, k-1)이 된다. 여기서 a, b는 첫 금고를 떨어뜨린 위치를 기준으로 나뉘어진 위 아래 건물의 층수다. 여기서 문제의 정의에 따라 우리가 구하고자 하는 해는
{{| max{ T(b, k), T(a, k-1) } + 1 |}} 이다.
그런데 여기서 T(b,k) > T(a, k-1) 이거나 T(b,k) < T(a,k-1) 이라면 n = a + b + 1 인 건물의 층수가 우리가 처음에 가정한 n이 T(n,k) 횟수만에 테스트 할 수 있는 건물의 최대 높이라는 가정과 모순된다. 따라서 T(b,k) = T(a,k-1) 이다. 따라서
{{| T(a+b+1, k) = T(b,k) + 1 = T(a,k-1) + 1 |}} 이다. 여기서 a 와 b 또한 건물의 최대 높이임을 만족해야 한다. 초기값 T(1, k) = 1, T(n, 1) = n 을 이용하여 값을 구할 수 있다.
코드 ¶
~cpp // Safe #include <iostream> using namespace std; #define MAXN 500 static int d[MAXN+1][MAXN+1]; static int n, k; void init_table() { for (int i = 1; i <= MAXN; i++) { d[1][i] = 1; d[i][1] = i; } } int find_max_n(int k, int value) { for (int i = 1; i <= MAXN; i++) if (value < d[i][k]) return i - 1; return -1; } void fill_cell(int k) { int a, b, t, value; t = value = 1; while (t < MAXN) { b = t; a = find_max_n(k - 1, value); t = a + b + 1; for (int i = b + 1; i <= __min(t,MAXN); i++) d[i][k] = value + 1; value++; } } void set_dynamic_table() { init_table(); for (int k = 2; k <= MAXN; k++) fill_cell(k); } inline void show() { cout << d[n][k] << endl; } int main() { int nCase; cin >> nCase; set_dynamic_table(); for (int i = 0; i < nCase; i++) { cin >> n >> k; show(); } return 0; }