금고/문보창

금고 ¶

바로 코드 짜면 저번처럼 망해버릴 것만 같아서, 점화식 만들고, 간단히 증명까지 하고 코드를 짰다. 층수 n, 금고수 k 라 할때, 현재 복잡도 O(nk). 구간 값을 저장한다면 메모리와 시간 모두 더 줄일수 있을 것이다.

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풀이 ¶

T(n, k) 를 층수 n 과 금고 수 k 일때의 해라 하자. 여기서 n 을 k 개의 금고를 가지고, T(n, k) 횟수 만에 모두 테스트 할 수 있는 건물의 최대높이라 하자.
층수가 n 인 건물중 해를 찾는 위치에 첫 금고를 떨어뜨린다고 하자. 그러면 건물은 그 위치 아래와 위로 나뉘어지며, 위쪽은 T(b, k) 가 되고, 아래쪽은 T(a, k-1)이 된다. 여기서 a, b는 첫 금고를 떨어뜨린 위치를 기준으로 나뉘어진 위 아래 건물의 층수다. 여기서 문제의 정의에 따라 우리가 구하고자 하는 해는
{{| max{ T(b, k), T(a, k-1) } + 1 |}} 이다.
그런데 여기서 T(b,k) > T(a, k-1) 이거나 T(b,k) < T(a,k-1) 이라면 n = a + b + 1 인 건물의 층수가 우리가 처음에 가정한 n이 T(n,k) 횟수만에 테스트 할 수 있는 건물의 최대 높이라는 가정과 모순된다. 따라서 T(b,k) = T(a,k-1) 이다. 따라서
{{| T(a+b+1, k) = T(b,k) + 1 = T(a,k-1) + 1 |}} 이다. 여기서 a 와 b 또한 건물의 최대 높이임을 만족해야 한다. 초기값 T(1, k) = 1, T(n, 1) = n 을 이용하여 값을 구할 수 있다.

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코드 ¶

~cpp
// Safe
#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 500

static int d[MAXN+1][MAXN+1];
static int n, k;

void init_table()
{
	for (int i = 1; i <= MAXN; i++)
	{
		d[1][i] = 1;
		d[i][1] = i;
	}
}

int find_max_n(int k, int value)
{
	for (int i = 1; i <= MAXN; i++)
		if (value < d[i][k])
			return i - 1;
	return -1;
}

void fill_cell(int k)
{
	int a, b, t, value;
	t = value = 1;
	while (t < MAXN)
	{
		b = t;
		a = find_max_n(k - 1, value);
		t = a + b + 1;
		for (int i = b + 1; i <= __min(t,MAXN); i++)
			d[i][k] = value + 1;
		value++;
	}
}

void set_dynamic_table()
{
	init_table();
	for (int k = 2; k <= MAXN; k++)
		fill_cell(k);
}

inline void show()
{
	cout << d[n][k] << endl;
}

int main()
{
	int nCase;
	cin >> nCase;
	set_dynamic_table();
	for (int i = 0; i < nCase; i++)
	{
		cin >> n >> k;
		show();
	}
	return 0;
}

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