식으로 작성해주시기 바랍니다.
- 1.1 : Systems of Linear Equations
- linear equation : a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b 꼴로 나타내지는 방정식
- linear equation을 푸는 법 : 그래프 이용(하지만 변수가 4개 이상일 경우 힘듬), 행렬 이용
- linear equation의 해 : 없음, 1개, 무한대(consist와 uniqueness에 대해서 알면 됨)
- 행렬 표현법
- coefficient matrix : 각 equation의 계수만 적어놓은 행렬
- augmented matrix : coefficient matrix에 상수항까지 적어놓은 행렬
- 행렬로 linear equation 풀기 : elementary row operations 이용
- Replacement : 한 row에 대해서 다른 row와 더하거나 빼는 것
- Interchange : 두개의 row를 변경
- Scaling : 한 row의 모든 entry에 특정 값을 곱함
- 1.2 : Row Reduction and Echelon Forms
- echelon form
- nonzero rows가 zero rows 위에 있어야 됨
- leading entry(pivot)이 왼쪽에 있는 것이 위로 가야됨
- leading entry 아래에 있는 column의 값은 0이여야 됨
- reduced echelon form
- 기존의 row echelon form의 조건은 모두 만족
- leading entry가 1이여야 됨
- leading entry가 있는 column의 나머지 entry는 모두 0이여야 됨
- pivot position : echelon form을 만들 때 기준이 되는 position
- row reduction algorithm : elementary row operations를 이용
- solution of linear system
- basic variable : pivot position이 있는 variable
- free variable : pivot position이 없는 variable
- 1.3 : Vector Equations
- vector : matrix의 각각의 column을 vector라고 볼 수 있음.
- vector는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
- linear combination : 각 vector의 스칼라 곱의 합(a1v1 + a2v2 + ... + anvn)
- span : span{u, v} = 벡터 u, v를 linear combination 해서 만들 수 있는 벡터들의 집합
- 1.4 : The Matrix Equation Ax=b
- matrix equation Ax=b
- Ax = b <=> x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b <=> a1 a2 ... an b
* 1.5 : Solution Set of Linear Systems
- Homogeneous Linear Systems
- Ax=0 라는 Homogeneous 방정식이 있을 때, 방정식이 최소한 하나의 free variable이 있어야만 x가 zero vector가 아닌 해를 가진다.
즉 nontrivial solution을 가진다.
- Parametric Vector Form
- parametric vector equation은 x = su + tv(s,t in R)로 표현할 수 있다. 예를 들어서 x = tv(t in R)이라는 방정식은 직선의 방정식을
표현한 것이 된다. 만일 solution set이 x = s(3,1,2) + t(2,0,1)의 벡터형태로 표현된다면 그 solution을 parametric vector form이라
고 한다.
- Ax=b와 Ax=0의 solution set관계
- Ax=b가 consistent하고, p를 solution이라고 가정한다. 그러면 Ax=b의 solution set은 v = p + h의 형태로 표현할 수 있다. 여기서 h
는 Ax=0의 solution이다. 다만 Ax=b는 nonzero solution인 p가 최소한 하나 이상있어야 한다. 만일 Ax=b가 해가 없다면 solution set
은 존재하지 않게된다.
