1.7 Linear Independence 선형 독립성
Section 1.5에서 동일한 등식은 등식을 벡터 방정식으로 쓰는 것으로 다른 관점으로 공부할 수 있었다. 이 방식으로, 초점을 Ax=0에 대한 알 수 없는 해답부터 벡터 방정식에서 나타나는 벡터들까지 바꿔보자.
Definition
만약 벡터 방정식 ...가 오직 자명한 해를 가진다면 Rn에 있는 인덱싱된 벡터들의 집합을 선형적으로 독립적(linearly independent)이라고 말한다. 만약 (2)와 같은 0이 아닌 가중치가 존재한다면 그 집합은 선형 독립전이다고 한다.

Linear Independence of Matrix Columns 행렬 행에 대한 선형 독립성
우리가 벡터들의 집합 대신에 A= 로 시작한다고 하자. 그 행렬 등식 Ax=0는 ...으로 쓰여질 수 있다. A의 행들 사이에 각각의 선형독립 관계는 Ax=0에서의 자명하지 않은 해와 일치한다. 그래서 우리는 그 중요한 사실을 따른다.
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행렬 A의 행들이 선형적으로 독립이면 방정식 Ax=0는 오직 자명한 해만을 갖는 것이 필요충분조건이다. (3)
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Set of One or Two Vectors
v라고 불리는 오직 한 벡터만을 가진 집합은 v가 0벡터가 아니면 선형 독립임이 필요충분조건이다. 이는 벡터방정식 x1v=0가 v=0이 아닐 때 오직 자명한 해만을 갖기 때문이다. 제로벡터는 x1*0=0는 수많은 자명하지 않은 해답들을 가지고 있기 때문에 선형 의존적이다.
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{v1, v2} 두 벡터들의 집합은 벡터들중 하나라도 다른 벡터의 곱이기만 하면 선형 의존적이다. 그 집합은 그 벡터들 중 어떤 것도 다른 것의 곱아닐때에만 선형 의존적이다.
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기하학적인 용어로서, 두 벡터들은 그 두 벡터가 원점을 따라 같은 선상에 놓여있기만하면 선형 의존적이다. Figure 1은 예제 3번으로부터 벡터들을 보여준다.

Set of Two or More Vectors
두개거나 다중 벡터들의 집합
다음 이론의 증명은 예시 3번의 해답과 비슷하다. 상세한 것은 이 섹션의 마지막에 다룬다.

Theorem 7
Characterization of Linearly Dependent Sets
선형 의존적인 집합들의 특성
두개거나 다중 벡터들의 인덱싱 된 집합 S={v1...vp}은 S에 있는 벡터들 중 하나라도 다른 것의 선형결합이면 선형 의존적이다(필요충분). 사실, S가 선형 의존적이고 v1=0이 아니면 어떤 vj(j>1)는 앞서 나온 벡터들의 선형 결합이다.

주의: 이론 7은 선형 독립적인 집합에서 모든 벡터가 앞선 벡터들의 선형결합이라고 말하지 않았다. 선형 독립적인 집합에 있는 벡터는 다른 벡터들의 선형결합이 되는데 실패할지도 모른다. 연습문제 3번을 봐라. 예시4는 의 선형 의존적인 u와v를 R3(3차원)의 어떤 집합{u,v,w}로 일반화한다. 그 집합 {u,v,w}는 평면에서 w가 u와 v로 span(평면화)되면 선형 독립적이다(필요충분).